دینامیک کلاسیک ذرات و سیستم‌ها

دینامیک کلاسیک شاخه‌ای از فیزیک است که به مطالعه حرکت ذرات و سیستم‌ها تحت تأثیر نیروها می‌پردازد. این شاخه از فیزیک با استفاده از قوانین نیوتن، لاگرانژ و هامیلتون، رفتار سیستم‌های مکانیکی را توصیف می‌کند. در این مقاله، به بررسی برخی از مفاهیم کلیدی دینامیک کلاسیک از جمله روش‌های حساب وردشی، اصل هامیلتون، دینامیک لاگرانژی و هامیلتونی، حرکت نیروی مرکزی، دینامیک سیستم ذرات، حرکت در چارچوب مرجع نالخت و دینامیک اجسام صلب می‌پردازیم.

برخی روش‌های حساب وردشی (حساب تغییرها)

حساب وردشی (Variational Calculus) یکی از ابزارهای ریاضی است که در فیزیک به‌ویژه در مکانیک تحلیلی کاربرد گسترده‌ای دارد. این روش به یافتن توابعی می‌پردازد که یک تابعیال (Functional) را کمینه یا بیشینه می‌کنند. در دینامیک کلاسیک، حساب وردشی برای استخراج معادلات حرکت از طریق اصل کمینه‌سازی عمل (Action) استفاده می‌شود.

معادله اویلر-لاگرانژ

معادله اویلر-لاگرانژ یکی از مهم‌ترین نتایج حساب وردشی است که برای یافتن مسیر حرکت یک سیستم به کار می‌رود. این معادله به صورت زیر بیان می‌شود: $d t d (\partial q ˙ ^{i} \partial L) - \partial q ^{i} \partial L =$ که در آن $L$ لاگرانژین سیستم، $q_{i}$ مختصات تعمیم‌یافته و $q ˙_{i}$ سرعت تعمیم‌یافته است.

اصل هامیلتون؛ دینامیک لاگرانژی و هامیلتونی

اصل هامیلتون

اصل هامیلتون بیان می‌کند که مسیر واقعی حرکت یک سیستم بین دو نقطه در فضا و زمان، مسیری است که عمل (Action) را کمینه می‌کند. عمل به صورت انتگرال لاگرانژین روی زمان تعریف می‌شود: $S = \int_{t 1 t 2} L (q, q ˙, t) d t$

دینامیک لاگرانژی

در دینامیک لاگرانژی، حرکت سیستم با استفاده از لاگرانژین $L = T - V$ توصیف می‌شود، که در آن $T$ انرژی جنبشی و $V$ انرژی پتانسیل سیستم است. معادلات لاگرانژ از طریق اصل هامیلتون به دست می‌آیند و حرکت سیستم را در مختصات تعمیم‌یافته توصیف می‌کنند.

دینامیک هامیلتونی

در دینامیک هامیلتونی، حرکت سیستم با استفاده از هامیلتونی $H$ توصیف می‌شود که به صورت زیر تعریف می‌شود: $H = i \sum p_{i} q ˙_{i} - L$ که در آن $p_{i}$ مومنتوم تعمیم‌یافته است. معادلات هامیلتون به صورت زیر هستند: $q ˙_{i} = \partial p ^{i} \partial H, p ˙_{i} = - \partial q ^{i} \partial H$ این معادلات حرکت سیستم را در فضای فاز توصیف می‌کنند.

حرکت نیروی مرکزی

حرکت نیروی مرکزی به حرکت یک ذره تحت تأثیر نیرویی که همیشه به سمت یک نقطه ثابت (مرکز) جهت‌گیری شده است، اشاره دارد. این نوع حرکت در مسائل مانند حرکت سیارات به دور خورشید یا حرکت الکترون به دور هسته در مدل بور مورد مطالعه قرار می‌گیرد.

قوانین کپلر

مدار سیارات بیضی‌شکل است و خورشید در یکی از کانون‌های آن قرار دارد.
خط واصل بین سیاره و خورشید در زمان‌های مساوی، مساحت‌های مساوی جاروب می‌کند.
مربع دوره تناوب مداری سیاره با مکعب نیم‌محور بزرگ مدار آن نسبت مستقیم دارد.

قوانین کپلر حرکت سیارات را به دور خورشید توصیف می‌کنند و نمونه‌ای کلاسیک از حرکت نیروی مرکزی هستند. این قوانین شامل:

این مقاله را هم بخوانید : کاهش وزن تضمینی با دستگاه

دینامیک سیستم ذرات

دینامیک سیستم ذرات به مطالعه حرکت مجموعه‌ای از ذرات تحت تأثیر نیروهای داخلی و خارجی می‌پردازد. در این سیستم‌ها، قوانین نیوتن به هر ذره اعمال می‌شود و حرکت کل سیستم از طریق حل معادلات حرکت هر ذره به دست می‌آید.

مرکز جرم و حرکت نسبی

مرکز جرم یک سیستم ذرات به صورت زیر تعریف می‌شود: $R = M 1 i \sum m_{i} r_{i}$ که در آن $M$ جرم کل سیستم، $m_{i}$ جرم ذره $i$ و $r_{i}$ موقعیت ذره $i$ است. حرکت سیستم را می‌توان به حرکت مرکز جرم و حرکت نسبی ذرات حول مرکز جرم تقسیم کرد.

حرکت در چارچوب مرجع نالخت

چارچوب مرجع نالخت (Non-inertial Frame) چارچوبی است که با شتاب نسبت به چارچوب مرجع لخت حرکت می‌کند. در چنین چارچوب‌هایی، نیروهای مجازی مانند نیروی گریز از مرکز و نیروی کوریولیس ظاهر می‌شوند.

نیروهای مجازی

💡نیروی گریز از مرکز: $F_{centrifugal} = - m ω \times (ω \times r)$
💡نیروی کوریولیس: $F_{Coriolis} = - 2 m (ω \times v)$

در چارچوب مرجع نالخت، معادلات حرکت نیوتن با افزودن نیروهای مجازی اصلاح می‌شوند. این نیروها شامل:که در آن $ω$ سرعت زاویه‌ای چارچوب نالخت و $v$ سرعت ذره در چارچوب نالخت است.

دینامیک اجسام صلب

دینامیک اجسام صلب به مطالعه حرکت اجسامی می‌پردازد که در آن فاصله بین هر دو نقطه از جسم ثابت باقی می‌ماند. این اجسام می‌توانند حرکت انتقالی و چرخشی داشته باشند.

حرکت انتقالی و چرخشی

حرکت انتقالی جسم صلب با حرکت مرکز جرم آن توصیف می‌شود، در حالی که حرکت چرخشی با استفاده از معادلات اویلر توصیف می‌شود. معادلات اویلر به صورت زیر هستند: $I ω ˙ + ω \times (I ω) = τ$ که در آن $I$ تانسور ممان اینرسی، $ω$ سرعت زاویه‌ای و $τ$ گشتاور خارجی است.

انرژی جنبشی و مومنتوم زاویه‌ای

انرژی جنبشی جسم صلب به صورت زیر تعریف می‌شود: $T = 21 M V^{2} + 21 ω \cdot (I ω)$ که در آن $V$ سرعت مرکز جرم است. مومنتوم زاویه‌ای نیز به صورت زیر تعریف می‌شود: $L = I ω$

نتیجه‌گیری

دینامیک کلاسیک ذرات و سیستم‌ها یکی از پایه‌ای‌ترین و مهم‌ترین شاخه‌های فیزیک است که با استفاده از قوانین نیوتن، لاگرانژ و هامیلتون، حرکت سیستم‌های مکانیکی را توصیف می‌کند. در این مقاله، به بررسی برخی از مفاهیم کلیدی این شاخه از فیزیک پرداختیم، از جمله روش‌های حساب وردشی، اصل هامیلتون، دینامیک لاگرانژی و هامیلتونی، حرکت نیروی مرکزی، دینامیک سیستم ذرات، حرکت در چارچوب مرجع نالخت و دینامیک اجسام صلب. این مفاهیم نه تنها در فیزیک نظری، بلکه در بسیاری از کاربردهای مهندسی و علوم طبیعی نیز کاربرد گسترده‌ای دارند.